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湖南行測極值問題之一元二次函數(shù)求極值

發(fā)布:2023-11-22 10:48:30 字號: | | 我要提問我要提問
\ 湖南公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系考點累積

  極值問題是一類經(jīng)常出現(xiàn)的考點,考查頗為靈活。其中,利用一元二次函數(shù)求極值的題目較為典型。提到一元二次函數(shù)大家應(yīng)該都不陌生,我們都知道其函數(shù)圖像為一條拋物線,且開口可能向上也可能向下,當開口向上時,函數(shù)有極小值;當開口向下時,函數(shù)有極大值。
\ 數(shù)量關(guān)系例題講解

  但不管是哪種情況,函數(shù)總是對稱的,所以必然會在對稱軸位置處取得極值。那么對稱軸怎么求呢?我們可以令函數(shù)等于0,得到函數(shù)圖像與x軸的兩個交點,利用函數(shù)圖像的對稱性,找到兩個交點的正中間值,即為對稱軸的位置。下面讓我們來一起做兩道題加深一下理解:

  例1、廠家生產(chǎn)銷售某新型節(jié)能產(chǎn)品,產(chǎn)品生產(chǎn)成本是168元,銷售定價為238元,一位買家向該廠家預(yù)定了120件產(chǎn)品,并提出如果產(chǎn)品售價每降低2元,就多訂購8件。則該廠家在這筆交易中所能獲得的最大利潤是(    )元。

  A.17920

  B.13920

  C.10000

  D.8400

  【解析】C。由題目所給信息,我們知道所求為總利潤的最大值。又因為總利潤=單件利潤×銷售量,所以需要把單件的利潤以及銷售量分別表示出來。具體來看,每一件產(chǎn)品的利潤為238-168=70(元),售價每降低2元,利潤也會跟著降低2元,所以在這不妨假設(shè)售價降低了x個2元,對應(yīng)單件的利潤應(yīng)表示為(70-2x)元;原銷售量為120件,并且售價每降低2元,銷售量就會增加8件,因此銷售量應(yīng)表示為(120+8x)件。故總利潤為(70-2x)×(120+8x)元。所求為最大利潤,即這個函數(shù)的極大值。

  在這里我們可以利用一元二次函數(shù)圖像的對稱性來求解,先讓函數(shù)的值等于0,即令:(70-2x)×(120+8x)=0,解得:x1=35或x2=-15。由其對稱性可知,x1和x2必關(guān)于對稱軸對稱,換言之,函數(shù)圖像的對稱軸正好位于x1和x2的正中間,即函數(shù)的對稱軸為\也就是說當x=10時,能獲得最大利潤。代入原函數(shù),最大利潤為(70-2×10)×(120+8×10)=10000(元),故選C。

  例2、某木苗公司準備出售一批木苗,如果每株以4元出售,可賣20萬株,若木苗單價每提高0.4元,就會少賣10000株。那么,在最佳定價的情況下,該公司的最大收入是多少萬元?

  A.30

  B.60

  C.90

  D.100

  【解析】C。題目所求為最大收入,而收入=單價×銷售量,因此我們需要把單價和銷售量分別表示出來。先來看單價,單價為4元,設(shè)提高了x個0.4元,則單價=(4+0.4x)元;銷售量為20萬株,單價每提高0.4元,銷售量便減少1萬株,所以銷售量=(20-x)萬株。

  因此收入=(4+0.4x)×(20-x)萬元,所求的收入最大值就是求這個一元二次函數(shù)的極大值?梢岳煤瘮(shù)的對稱性來求解。令:(4+0.4x)×(20-x)=0,解得x1=-10或x2=20,由其對稱性可知,x1和x2必關(guān)于對稱軸對稱,則函數(shù)的對稱軸為\,即當x=5時,收入最大,最大收入為(4+0.4×5)×(20-5)=90(萬元),故選C。

  以上就是關(guān)于一元二次函數(shù)求極值的題目,希望大家能夠借助上述題目把這個知識點搞懂、吃透。
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